Cognome  Nome  matr.

Corso di laurea in Tecniche dell’edilizia Istituzioni di Analisi Matematica a.a. 2009/10 - I scritto – fila A 01/02/2010

Compilare immediatamente con i propri dati l’intestazione. Rispondere ai quesiti e svolgere gli esercizi negli appositi spazi motivando le risposte ove necessario. Nelle domande con risposta a scelta, indicarne chiaramente una sola e non aggiungere altro. Nei disegni, evidenziare le parti richieste negli esercizi. Non scrivere a matita (ad eccezione eventualmente dei disegni) e non utilizzare il colore rosso. Non è concesso l’uso di calcolatrici o simili.

Le domande a risposta multipla con risposta sbagliata danno punteggio negativo.

Consegnare il compito annulla tutti i voti precedenti.

Al termine della prova consegnare solo questo foglio.

1. Sia φ : [−π, 0] → ℝ^{2} la curva definita da

φ(t) = (cos^{2}(t), sin^{2}(t)).

(a) ±1 punto φ è chiusa (V) (F)

(b) 2 punti φ′(t) =

(c) ±1 punto φ è regolare (V) (F)

(d) ±1 punto φ è semplice (V) (F)

(e) 4 punti Calcolare la lunghezza di φ.

2. (a) 3 punti Determinare la soluzione del problema di Cauchy

\{ \begin{matrix}u′ − u^{2}t^{3} = 0 \\ u(0) = 1 \end{matrix}

(b) 3 punti Determinare la soluzione del problema di Cauchy, al variare di c_{1} ∈ ℝ

\{ \begin{matrix}u′ − u^{2}t^{3} = 0 \\ u(0) = c_{1} \end{matrix}

(c) 3 punti Determinare la soluzione generale dell’equazione u′′(t) + 5u′(t) − 6u(t) = 0.

3. Numeri complessi. (a) (2 punti) Calcola le radici quadrate di 9 − 9i (metti il risultato in forma trigonometrica).

(b) (2 punti) Calcola la molteplicità del numero complesso i + 1 nel polinomio P (z) = (z^{2} + 2i) · (z^{2} − 2i)^{2} · (z − i − 1)^{4} · (z + i + 1)^{8}

4. Sia

h(x, y) = \frac{e^{xy}}{x − y}

(a) (1 punto) Il dominio di h è

dom h =

(b) (2 punti) Il gradiente di h è

∇ h =

(c) (2 punti) Qual è l’equazione del piano tangente al grafico di h nel punto (1, 0, h(1, 0))?

5. Sia f(x, y) = 1/y e D il quadrilatero di vertici (ordinati) (−1, 1), (1, 1), (−1, 2e), (0, e).

• (1 punto) Disegna D.

• (±1 punto) D è normale rispetto all’asse x. (V) (F)

• (±1 punto) D è normale rispetto all’asse y. (V) (F)

• (6 punti) Calcola l’integrale

I = ∫∫_{D} f(x, y) dxdy

Cognome  Nome  matr.

Corso di laurea in Tecniche dell’edilizia Istituzioni di Analisi Matematica a.a. 2009/10 - I scritto – fila B 01/02/2010

Compilare immediatamente con i propri dati l’intestazione. Rispondere ai quesiti e svolgere gli esercizi negli appositi spazi motivando le risposte ove necessario. Nelle domande con risposta a scelta, indicarne chiaramente una sola e non aggiungere altro. Nei disegni, evidenziare le parti richieste negli esercizi. Non scrivere a matita (ad eccezione eventualmente dei disegni) e non utilizzare il colore rosso. Non è concesso l’uso di calcolatrici o simili.

Le domande a risposta multipla con risposta sbagliata danno punteggio negativo.

Consegnare il compito annulla tutti i voti precedenti.

Al termine della prova consegnare solo questo foglio.

1. Sia φ : [0, π] → ℝ^{2} la curva definita da

φ(t) = (− cos^{2}(t), 2 − sin^{2}(t)).

(a) ±1 punto φ è chiusa (V) (F)

(b) 2 punti φ′(t) =

(c) ±1 punto φ è regolare (V) (F)

(d) ±1 punto φ è semplice (V) (F)

(e) 4 punti Calcolare la lunghezza di φ.

2. (a) 3 punti Determinare la soluzione generale dell’equazione u′′(t) − 5u′(t) + 6u(t) = 0. (b) 3 punti Determinare una soluzione particolare dell’equazione u′′(t) − 5u′(t) + 6u(t) = te^{t}.

(c) 3 punti Risolvere il problema di Cauchy u′′(t) − 5u′(t) + 6u(t) = 0, u(1) = 1, u′(1) = 0.

3. Numeri complessi. (a) (2 punti) Calcola le radici quadrate di 4 + 4i (metti il risultato in forma trigonometrica).

(b) (2 punti) Calcola la molteplicità del numero complesso −i − 1 nel polinomio P (z) = (z^{2} + 2i) · (z^{2} − 2i)^{2} · (z − i − 1)^{4} · (z + i + 1)^{8}

4. Sia

h(x, y) = xe^{xy}

e Q = [0, 1] × [0, 1].

(a) (5 punti) Calcola l’integrale

I = ∫∫_{Q} h(x, y) dxdy

5. Sia f(x, y) = xe^{xy}

(a) (1 punto) Il dominio di f è

dom f =

(b) (2 punti) Il gradiente di f è

∇f =

(c) (±1 punto) f ammette punti stazionari (V) (F)

(d) (3 punti) Calcola la matrice Hessiana di f

(e) (2 punti) Studia la natura degli evventuali punti stazionari di f.

1. (a) 2 punti Calcola il prodotto tra z_{1} = 10 − i e z_{2} = \frac{1}{10} − i.

(b) Vero o falso? Le seguenti sono soluzioni dell’equazione differenziale u′′ − (t + 1)u = te^{t}.

• ±1 punto u(t) = e^{t}. (V) (F)

• ±1 punto u(t) = te^{t}. (V) (F)

• ±1 punto u(t) = (t + 1)e^{t}. (V) (F)

(c) ±2 punti Vero o falso?

La curva φ : [2, 4] → ℝ^{2} data da φ(t) = (e^{t} − 2^{t}(1 + t), t^{3}) è semplice. (V) (F)