Capitolo VIII – Polarità

§1 Polarità definita da una conica

Una conica K non degenere (cioè un’ellisse, una parabola oppure un’iperbole) determina una corrispondenza tra punti e rette del piano, detta polarità.

1 Definizione. Una polarità consiste nell’accoppiare in un certo modo tra loro punti e rette: ad ogni punto corrisponde una certa retta e ad ogni retta corrisponde un certo punto; se un punto P ed una retta r sono accoppiati, diremo che P è il polo di r oppure, equivalentemente, che r è la polare di P. S’intende che ogni punto ha una sola polare e ogni retta ha un solo polo.

Insisto sul fatto che dire “P è il polo di r” è completamente equivalente a dire “r è la polare di P”; queste due affermazioni significano semplicemente che P ed r sono accoppiati dalla polarità. Il meccanismo con cui si fa l’accoppiamento, cioè il modo in cui è fatta una polarità rispetta due sole regole, da cui consegue tutto il resto. In primo luogo la polarità accoppia tra loro i punti della conica con le rette tangenti alla conica:

2 Definizione. Sia P un punto della conica K e r la retta tangente alla conica in P. r è la retta polare di P e P è il polo di r.

fig. 1 – Nelle tre immagini r è la retta tangente alla conica nel punto P, cioè r è la polare di P.

In secondo luogo vale la seguente:

3 Legge di reciprocità. Se un punto P sta sulla polare di Q, allora Q sta sulla polare di P.

Per chiarire il significato di questa legge vediamone una conseguenza:

4 Proposizione. Sia P sia il polo di r. Allora le rette del fascio di centro P sono le polari dei punti di r.

Dimostrazione. Sia s una retta che appartiene al fascio F delle rette che passano per P, e sia Q il suo polo. Poiché P sta su s, polare di Q, allora Q sta sulla polare di P, cioè su r. Viceversa se Q sta su r, che è la polare di P, allora la polare di Q passa per P, cioé appartiene al fascio F.

fig. 2* – Aprendo il filmato si vede che mentre Q si muove

sulla polare di P, la polare di Q continua a passare per P.

5 Esercizio. Disegnare un punto P ed una retta r. Si assuma che P sia il polo di r. Preso un punto Q di r ripetere per quale motivo la polare di Q appartiene al fascio di rette di centro P. Presa una retta s di questo fascio, ripetere perché il suo polo deve stare sulla retta r.

§2 La polare di un punto esterno e il polo di una retta secante

Vediamo come sia possibile, applicando le due regole: la Definizione 2 e la Legge di reciprocità, determinare per ogni punto la sua polare e per ogni retta il suo polo.

Sia P un punto esterno alla conica (cioè esterno al cono, la cui intersezione con un piano è la conica). Allora possiamo mandare due tangenti r ed r’ da P alla conica; chiamiamo Q e Q’ i punti di tangenza (si segua il ragionamento guardando la fig. 3).

fig. 3

La Definizione 2 dice che la polare di Q è la retta r. Poiché P sta su r, per reciprocità, la polare di P passa per Q. Con lo stesso argomento si vede che la polare di P deve passare per Q’. Perciò la polare di P è la retta QQ’.

In altri termini, nelle situazioni in fig. 3, la retta rossa è la polare del punto rosso che è il suo polo. Questa osservazione ci permette di concludere che:

6 Proposizione. Se P è “esterno” alla conica K, condotte da P le due tangenti alla conica, la polare di P è la retta che congiunge i punti di tangenza (fig. 3).

Il discorso può essere ribaltato:

7 Corollario. Data una retta r secante, essa incontra la conica in due punti, per i quali mando le tangenti che si incontrano in un punto P, che è il polo di r.

8 Esercizio. Disegnare approssimativamente un’ellisse e poi, scelto un punto esterno, disegnarne la polare e, fissata una retta secante, disegnarne il polo. Ripetere l’esercizio con un’iperbole e una parabola. (Il tutto da farsi a mano libera o con la sola riga e quindi in modo approssimato).

Soluzione Nel caso dell’ellisse è data da fig. 4.

fig. 4

§3 La polare di un punto interno

Restano da trattare i punti interni e le rette esterne (nè tangenti, nè secanti). Consideriamo un punto P interno ad un’ellisse e prendiamo due rette a piacere r ed r’ per P (fig. 5)

fig. 5

e mandiamo per i quattro punti di intersezione con la conica le tangenti:

fig. 6

Le tangenti così costruite a partire da r si incontrano in un punto Q, polo di r; quelle costruite a partire da r’ si incontrano in Q’, polo di r’. Ma allora, per reciprocità, P sta sulla polare di Q e di Q’, quindi la polare di P è QQ’ (fig. 7)

fig.7

Conclusione:

9 Proposizione. Dato un punto interno P per determinare la sua polare si considerano due rette per P. Esse sono secanti e sappiamo determinarne i poli Q e Q’. La retta QQ’ è la polare di P.

In fig. 8 vediamo l’analoga a costruzione della polare di un punto interno ad una parabola:

fig. 8

e in fig. 9 per il punto interno ad un’iperbole.

fig. 9

§4 Polo di una retta esterna.

10 Proposizione. Sia r una retta esterna ad una conica K, cioè r non ha punti in comune con K. Presi due punti di r, diciamo Q e Q’ questi sono punti esterni, le cui polari si incontrano nel polo di r.

Dimostrazione. (Si segua la dimostrazione con le fig. 10). Assegnata una retta esterna, scegliamo su di essa due punti Q e Q’. Sappiamo costruire le polari s e s’ di Q e Q’ (cfr. Proposizione del §2). Esse si incontrano in un punto interno P. Per la costruzione precedente la polare di P è la retta da cui siamo partiti, dunque P è il suo polo.

fig. 10

11 Osservazione. Un punto P sta sulla sua polare se e solo se P sta sulla conica, nel qual caso la sua polare è la tangente.

Dimostrazione. Se P sta sulla conica, per definizione, la sua polare è la tangente. Viceversa supponiamo che P stia sulla propria polare. Per quanto visto sopra se P fosse interno la sua polare sarebbe esterna e quindi non passerebbe per P, contro quanto abbiamo supposto, dunque P non è interno. Se P fosse esterno le due tangenti condotte da P alla conica sarebbero distinte, quindi i punti Q e Q’ (cfr. fig. 2) di tangenza non sarebbero allineati con P, quindi P non starebbe sulla sua polare r; dunque P non è esterno. Non resta che concludere che P sta sulla conica.

§5 Polarità definita da un’ellisse e punti all’infinito

Nell’esporre la teoria della polarità abbiamo volutamente trascurato alcune questioni delicate. In questa sede non possiamo approfondirle troppo e ci limiteremo a considerare solo il caso della polarità determinata da un’ellisse, perché ha applicazioni in Scienza delle costruzioni.

Il problema è questo: se una retta r passa per il centro dell’ellisse, allora taglia l’ellisse in due punti Q e Q’ che sono simmetrici rispetto al centro e anche le tangenti in Q e Q’ saranno simmetriche rispetto al centro (fig.11) e quindi sono parallele. Ma il polo

fig.11

di r dovrebbe essere proprio il punto comune alle due tangenti, quindi viene a mancare il polo!

Osserviamo allora la fig. 12: immaginiamo di spostare un poco la retta r in modo che tagli l’ellisse in un punto Q”, prossimo a Q’. Mentre Q” si avvicina a Q’ la retta s”, tangente in Q”, si avvicina alla retta s’, tangente in Q’. Nel contempo il polo R di r si allontana lungo la retta s (apri il filmato). Dunque possiamo dire che il polo è andato all’infinito.

fig. 12*

A ben guardare questo discorso non ha nulla a che fare con l’ellisse e con la polarità. Semplicemente date due rette parallele s ed s’, fissiamo un punto P di s’ e prendiamo una retta t per P, man mano che la retta t si avvicina ad s’ il punto d’intersezione R con la retta s si allontana lungo la retta s

fig. 13

Viene quindi da dire che due rette parallele hanno in comune un punto all’infinito. Con questo concetto di punto all’infinito possiamo concludere che (si tenga presente la fig. 11)

12 Proposizione. Se la retta r passa per il centro dell’ellisse, allora il suo polo è il punto all’infinito delle tangenti all’ellisse condotte per i punti Q e Q’ in cui r taglia l’ellisse.

I punti all’infinito formano la retta all’infinito che possiamo pensare come l’insieme di tutte le direzioni nel piano. Questa idea dei punti all’infinito e della retta all’infinito può apparire piuttosto strana, tuttavia come vedremo “i conti tornano”. Ad esempio domandiamoci: chi è la retta polare del centro C di un’ellisse ? Supponiamo che t sia la retta polare del centro C di un’ellisse, allora – per reciprocità – le rette passanti per C hanno il proprio polo su t; ma per la Proposizione 1 tali poli sono punti all’infinito, quindi t è la retta all’infinito. Dunque:

13 Proposizione. I punti all’infinito formano una retta, detta retta all’infinito, che è la polare del centro dell’ellisse.

§6 Costruzioni di polari rispetto una circonferenza con riga e compasso.

14 Esercizio. Data una circonferenza C ed un punto esterno P, costruire la polare r del punto rispetto alla circonferenza.

Soluzione. Nelle figure seguenti è descritto il procedimento in 5 passi

fig. 14

Si noti che per costruzione i triangoli OAP e OBP sono rettangoli in A e B rispettivamente, quindi le rette PA e PB sono tangenti alla circonferenza assegnata. Pertanto esse sono le polari rispettivamente di A e B; poiché passano per P, la polare r di P è AB.

15 Esercizio. Ripetere l’esercizio precedente con un disegno a mano libera (cambiando circonferenza e punto).

16 Esercizio. Data una circonferenza C ed un punto interno P, costruire la polare r del punto rispetto alla circonferenza.

Soluzione. Nelle figure seguenti è descritto il procedimento in 5 passi

fig. 15

Precisamente si traccia la retta per P perpendicolare alla retta OP, essa interseca la circonferenza C nei punti A e B. Si considerano i raggi OA e OB e si prendono le rette a questi ortogonali. Esse si tagliano in un punto Q. La parallela r ad AB condotta per Q è la polare cercata.

(Giustificazione. La costruzione è in un certo senso l’inverso della precedente e quindi dovrebbe essere chiaro che la retta AB è la polare di Q. Ma allora per reciprocità la polare r di P passa per Q. D’altra parte i dati del problema sono la circonferenza C e il punto P e quindi la retta OP è simmetrica rispetto a questi dati; allora anche la polare r di P deve essere simmetrica rispetto alla retta OP e pertanto, tra tuttel le rette per Q, non può che essere la perpendicolare ad OP.

C’è anche un altro modo pre capire perché la polare di un punto P rispetto ad una circonferenza di centro O è perpendicolare alla retta OP. Si osservi la fig. 16: il polo di OP è il punto all’infinito R delle tangenti t e t’; per reciprocità la polare di P passa per R cioè è parallela alle tangenti.

fig. 16

17 Esercizio. Ripetere la costruzione (fig. 15) con un disegno a mano libera.

§7 Costruzione della polare di un punto noti gli assi dell’ellisse

Il problema che vogliamo risolvere è questo: è data un’ellisse di cui sono noti gli assi ed un punto P (fig. 17). Vogliamo costruire con un metodo grafico la polare di P. Il metodo ha applicazione in Scienza delle costruzioni.

fig. 17 – I dati, assi e punto sono in rosso.

Naturalmente possiamo mandare da P le tangenti all’ellisse, tuttavia graficamente questo metodo è piuttosto impreciso, perché per farlo dobbiamo prima disegnare l’ellisse per punti (cfr. Cap. 3 §8). Conviene procedere diversamente. Consideriamo la fig. 18

fig. 18*

in essa (e meglio ancora nel filmato) si vede che se il punto P’ sta su un asse dell’ellisse, la sua polare r non dipende dalla lunghezza dell’altro asse, infatti la polare di P’ in fig. 18 è la retta r sia rispetto all’ellisse che alla circonferenza.

18 Esercizio. Siano noti gli assi di un’ellisse ed un punto P’ come in fig. 19. Disegnare con riga e compasso la polare di P’.

fig. 19

Soluzione. La sequenza delle fig. 20 indica il procedimento.

fig. 20

Precisamente si traccia la circonferenza C che ha per diametro l’asse maggiore e la circonferenza D che ha per diametro il segmento OP’. Le due circonferenze si incontrano nei punti A e B e la polare cercata è la retta AB.

La giustificazione di questa procedura è illustrata dalla fig. 21. In effetti la polare di

fig. 21

P’ rispetto alla circonferenza C e la polare di P’ rispetto all’ellisse coincidono (come abbiamo appena detto, cfr. fig. 18). I punti A e B sono i punti in cui le tangenti alla circonferenza C condotte da P’ toccano la circonferenza.

19 Esercizio. Lo stesso che il precedente, ma con questi dati (fig. 22)

fig. 22

Soluzione. Vedi fig. 23

fig. 23

20 Esercizio. Come sopra ma con questi dati:

fig. 24

Soluzione. Vedi fig. 25

fig. 25 a

fig. 25b

(E’ la stessa costruzione di fig. 15, tenuto conto del fatto che la polare rispetto all’ellisse e alla circonferenza sono le stesse).

21 Esercizio. Costruire la polare del punto P in figura, rispetto all’ellisse di cui sono indicati gli assi.

fig. 26

Soluzione. Basta realizzare la seguente fig. 27

fig. 27* - Aprendosi può muovere il punto.

In effetti P’ e P” sono le proiezioni ortogonali di P sugli assi. Usando le figure in blu si costruisce la retta r’ polare di P’ rispetto alla circonferenza C’ ma anche rispetto all’ellisse. Allo stesso modo, usando le figure in verde, si costruisce la polare r” di P” rispetto alla circonferenza C” e rispetto all’ellisse. Per reciprocità, poiché A sta sulla polare di P’, a sua volta P’ sta sulla polare di A. Che per simmetria è ortogonale all’asse dell’ellisse, quindi è la retta PP’. Allo stesso modo la polare di B è la retta PP”. Allora P sta sulle polari di A e di B, quindi la polare di P è la retta AB.

22 Esercizio. Ripetere la costruzione con questi dati:

fig. 28

23 Esercizio. Stesso esercizio, ma con questi dati:

fig. 29

24 Definizione. Data un’ellisse l’antipolare di un punto P è la retta simmetrica, rispetto al centro dell’ellisse, della polare.

25 Esempi. Nelle figure seguenti vediamo alcuni esempi di antipolare, tratti da figure precedenti (il punto P è in blu, la polare in rosso, l’antipolare in verde)

fig. 30