Capitolo VII - Tangenti alle coniche

§1 Problema.

Pierino deve portare un secchio da A a B, ma deve nel frattempo passare dalla riva del fiume – che scorre rettilineo – per riempire il secchio. Qual’è il precorso più breve ?

Soluzione. Si tratta di stabilire in quale punto C conviene attingere l’acqua, infatti, scelto C, il percorso più breve è certo la spezzata ACB.

In fig. 1 a sinistra sono rappresentati i tre punti, A arancio, B blu, C celeste, e la spezzata ACB. “Aprendo la figura” è possibile muovere i punti (C però è vincolato a stare sulla riva del fiume) e sperimentare diversi percorsi. A destra è rappresentata con un grafico la lunghezza del percorso: la scelta dei punti A e B determina il grafico, che mostra, al variare del punto C, quale sia la lunghezza della spezzata ACB. Così è possibile fare qualche esperimento ed intuire la risposta corretta.

fig. 1*

Sia B’ il simmetrico di B rispetto alla riva del fiume (fig. 2), allora i segmenti CB e CB’ hanno la stessa lunghezza e il problema diventa: trovare il punto C in modo che la spezzata ACB’ sia di lunghezza minima.

fig. 2

In fig. 2 sono illustrate alcune possibilità. Confrontando le lunghezze delle spezzate AC”B’, AC’B’ e ACB’ è evidente quale sia la scelta migliore.

Conclusione. Riformuliamo la questione in modo più astratto (vedi fig. 3):

Siano dati una retta r e due punti A e B dalla stessa parte di r. Tra tutti i punti C della retta r quello che rende minima la spezzata ACB è il punto per cui passa la retta AB’ che congiunge A al simmetrico B’ di B rispetto ad r.

fig. 3

Possiamo anche dire:

1 Proposizione. Il punto C cercato è quel punto della retta r per cui gli angoli formati da r con le rette AC e BC sono uguali.

fig. 4

Dimostrazione. Con riferimento alla fig. 4 si tratta di vedere che gli angoli a e b sono uguali. Ma a = g perché sono opposti al vertice, b = g perché B’ è il simmetrico di B rispetto ad r. Quindi a = b.

§2 Tangente all’ellisse

Sia r la retta tangente all’ellisse E nel suo punto P. Immaginiamo che Pierino debba andare dal fuoco F al fuoco F’ passando per un punto C di r con il percorso più breve possibile.

Sappiamo che

|FP| + |PF’| = 2p

quindi per tutti i punti che stanno fuori dell’ellisse, e in particolare per tutti i punti C della tangente, diversi da P, vale

|FC| + |CF’| > 2p.

Allora P è il punto che assicura il percorso minimo. Pertanto, per la Proposizione precedente la tangente r forma angoli uguali con le rette PF e PF’, cioè

2 Teorema. Una retta tangente all’ellisse biseca le rette condotte dal punto di tangenza ai fuochi.

fig. 5*

“Aprendo” fig. 5 si vede un filmato che evidenzia come gli angoli formati dalla tangente con le rette per i fuochi siano sempre uguali tra loro.

3 Costruzione con riga e compasso della tangente in un punto assegnato di un ellisse. Dell’ellisse sono dati gli assi e un punto P. Con la circonferenza centrata nel vertice inferiore e raggio pari al semiasse maggiore individuiamo i fuochi F e F’ sull’asse maggiore (cfr. fig. 10 Cap. 3). Si congiungono i fuochi al punto P (in rosso in fig. 6). Con l’ausilio di una circonferenza centrata in P si determinano due punti sulle rette PF e PF’ equidistanti da P. Con l’aiuto di altre due circonferenze centrate in questi punti si determina il loro asse (blu) che è la tangente cercata.

P

fig. 6

4 Fuochi e raggi luminosi. Uno specchio riproduce l’immagine degli oggetti facendoli apparire collocati dietro lo specchio, in posizione simmetrica a quella reale. Di questo ci rendiamo meglio conto se guardiamo di scorcio in uno specchio, posto – ad esempio – alla nostra sinistra; con il medesimo sguardo vediamo a destra la stanza e a sinistra la sua immagine virtuale.

fig. 7

Con riferimento alla fig. 7, dal punto A si vede nello specchio riprodotta l’immagine di B come se si trovasse in B’. Dunque il percorso del raggio luminoso che da B conduce al nostro occhio deve essere BCA, perciò i raggi luminosi (e anche le onde sonore) sono riflessi da una superfice piana in modo che raggio incidente e raggio riflesso formino lo stesso angolo con il piano.

Naturalmente questo avviene nello spazio: il raggio incidente r e il raggio riflesso r’ formano con la retta s (loro proiezione nortogonale sul piano π dello specchio) lo stesso angolo.

fig. 8

Tutto ciò ha interessanti applicazioni al caso dell’ellisse. A noi, considerate le nostre piccole dimensioni rispetto al raggio terrestre, la terra sembra piatta; allo stesso modo un raggio luminoso (così sottile rispetto alla “curvatura di un ellisse”) viene riflesso da uno specchio ellittico come se questo fosse piano, con l’inclinazione della tangente. Perciò un raggio uscente da un fuoco viene riflesso nell’altro fuoco, qualunque direzione abbia, infatti i due raggi formano con la tangente angoli uguali. Ma c’è di più, la lunghezza del percorso FPF’ non dipende dalla scelta del punto P sull’ellisse, quindi due raggi luminosi che partono da F in direzioni diverse nel medesimo istante, arrivano contemporaneamente in F’ (sempre che uno dei due non percorra proprio il segmento FF’ nel qual caso arriva prima). Allora se un suono viene emesso in F, esso si diffonde in tutte le direzioni e da tutte le direzioni viene riflesso in F’ e da tutte le direzioni arriva contemporaneamente, quindi è chiaramente percepibile. Questo spiega perché in una sala ellittica anche molto grande, una parola bisbigliata in uno dei fuochi è chiaramente udibile nell’altro (in particolare è evidente che la possibilità di risostruire la parola è garantita dalla contemporaneità con cui i suoni arrivano dai vari punti dell’ellisse).

§3 Tangente ad una parabola

5 Teorema. La tangente alla parabola in un suo punto biseca l’angolo formato dalla perpendicolare alla direttrice condotta per il punto e dalla retta che congiunge il punto al fuoco.

fig. 9*

Dimostrazione. (Guarda a fig. 9) Sia P un punto della parabola, consideriamo la bisettrice dell’angolo formato dalla retta PF con la perpendicolare alla direttrice. Sia P’ il piede della perpendicolare. Le due rette sono simmetriche rispetto alla bisettrice e i segmenti PF e PP’ sono uguali (perché P sta sulla parabola). Quindi i punti F e P’ sono simmetrici rispetto alla bisettrice.

Pertanto se Q sta sulla bisettrice, Q ≠ P, i segmenti QF e QP’sono uguali. Mentre chiaramente |QQ’| < |QP’|. Quindi la distanza di Q dalla direttrice è minore della distanza di Q dal fuoco. Pertanto Q è esterno alla parabola.

Cioè tutti i punti della bisettrice, tranne P, sono esterni alla parabola. Dunque la bisettrice è la tangente.

6 Raggi luminosi e parabole. Come mostra la fig. 10, poiché la tangente alla parabola è la bisettrice tra perpendicolare alla direttrice e congiungente al fuoco, un raggio di luce proveniente in direzione perpendicolare alla direttrice viene riflesso nel fuoco.

fig. 10*

Supponiamo di avere una fonte di onde elettromagnetiche molto lontana e di orientare l’asse della parabola in direzione di questa sorgente. Allora tutte le onde arriveranno da direzioni praticamente parallele e verranno tutte deviate nel fuoco, dove ci sarà una forte “concentrazione” di segnale. Se però il tempo impiegato dai diversi “raggi” fosse diverso, cioè se tutti i raggi non percorressero la medesima distanza il risultato sarebbe un minestrone incomprensibile. Ma i punti della parabola sono equidistanti dal fuoco e dalla direttrice, quindi ogni singolo raggio impiega a raggiungere il fuoco esattamente lo stesso tempo che avrebbe impiegato a raggiungere la direttrice, se non ci fosse stata l’antenna parabolica; perciò tutti i segnali arrivano contemporaneamente nel fuoco!

§4 Retta tangente all’iperbole

Analogamente a quanto accade per l’ellisse, vale la seguente

7 Proposizione. La retta tangente ad un’iperbole in un suo punto biseca l’angolo formato dalle rette che congiungono il punto ai fuochi (fig. 11).

fig. 11*

Dimostrazione (si può tralasciare). Si tratta di vedere che, preso un punto P dell’iperbole e la bisettrice r dell’angolo formato dalle rette che congiungono P ai fuochi, la bisettrice r è tangente all’iperbole. Cioè tutti i suoi punti, tranne P stanno nella regione centrale di fig. 12.

fig. 12

Caratterizziamo la regione centrale. La differenza delle distanze di un punto Q del piano dai fuochi dipende continuamente da Q (in altre parole la funzione ||FQ| - |F’Q|| è una funzione continua di Q). Essa assume il valore 2p solo nei punti dell’iperbole, quindi in ciascuna delle tre regioni del piano da essa determinate essa assume sempre valori minori o sempre maggiori di 2p. Precisamente valori maggiori di 2p nelle due regioni “interne” e minori di 2p nella regione “esterna” o centrale. (Per stabilirlo è sufficiente osservare che nei fuochi la differenza delle distanze è ovviamente |FF’| > 2p, mentre nel punto medio M essa è 0 < 2p). Quindi la regione esterna è caratterizzata dal fatto che per tutti i suoi punti la differenza delle distanze dai fuochi è maggiore di 2p.

Consideriamo ora le rette che congiungono un punto P dell’iperbole ai fuochi e la loro bisettrice (fig. 13); le rette FP e F’P sono simmetriche rispetto alla bisettrice e quindi il punto F”, simmetrico di F rispetto alla bisettrice è allineato a P e F’.

fig. 13*

Per un qualunque punto Q della bisettrice, vale |QF| = |QF”|.

In particolare |PF| = |PF”| e quindi la differenza 2p delle distanze di P dai fuochi è |F’F”|.

Invece se Q sta sulla bisettrice le distanze di Q dai fuochi sono |F’Q| e |F”Q|. La loro differenza, si consideri il triangolo QF’F”, è maggiore di |F’F”| = 2p.

Ne segue che Q sta nella regione centrale.