Capitolo II - Coniche
1 Cono circolare retto.
Data una circonferenza C, si conduca, per il centro, la perpendicolare al piano di C e su di essa si prenda un punto V (fig. 1a). Le rette che congiungono V ai punti della circonferenza C descrivono un cono circolare retto (fig. 1b)
fig. 1a
fig. 1b*
V detto vertice, le rette si chiamano generatrici del cono, le due parti del cono che si congiungono in V sono dette falde, la perpendicolare s che congiunge V al centro della circonferenza detto asse. Il cono (fig. 2) pu anche essere ottenuto ruotando una sua qualunque generatrice r attorno allasse s.
fig. 2*
Salvo diverso avviso, ma solo per fissare le idee, supporremo sempre che lasse del cono sia verticale.
2 Coniche degeneri
Definizione di conica . Una sezione piana di un cono circolare retto si chiama conica. Una conica si dice degenere se ottenuta sezionando un cono con un piano che passa per il vertice del cono.
Proposizione. Una conica degenere pu essere di tre tipi: un punto, una retta, una coppia di rette incidenti.
Dimostrazione. Poich la conica K degenere il piano con cui tagliamo il cono passa per il vertice V. Se il piano poco inclinato rispetto al piano orrizzontale, allora incontra il cono solo nel vertice e K = V.
fig. 3 A destra lintersezione piano-cono
Ora incliniamo maggiormente il piano fino ad appoggiarlo ad una generatrice r; dunque il piano tangente al cono lungo r e K = r.
fig. 4 A destra lintersezione piano-cono
Infine incliniamo ulteriormente il piano , cos che intersechi il cono lungo due generatrici r ed r che ovviamente sono incidenti nel vertice.
fig. 5* A destra lintersezione piano-cono
Esercizio. Dato un cono circolare retto ed una coppia di rette incidenti esiste sempre un piano tale che la coppia assegnata sia sezione del cono con quel piano? Come deve essere fatto il cono affinch la risposta sia affermativa qualunque sia la coppia di rette assegnata?
Soluzione. Nelle figure seguenti vediamo in corrispondenza di 4 posizioni del piano sempre pi inclinate, 4 diverse intersezioni. Nella fig. 5a vediamo tangente al cono e come intersezione una retta. In fig. 5b il piano leggermente pi inclinato e lintersezione con il cono sono due rette che formano un piccolo angolo. Al crescere dellinclinazione (fig. 5c) langolo cresce. Il massimo angolo lotteniamo quando il piano verticale e langolo tra le due rette pari allangolo di apertura del cono (fig.
5d)
fig. 5a
fig. 5b
fig. 5c
fig. 5d
Se il cono ha un angolo di apertura di almeno /2, allora inclinando opportunamente il piano - possiamo ottenere una coppia di rette che forma un angolo a piacere.
3 Coniche non degeneri
Se il piano non passa per il vertice V del cono, esso taglia sul cono una conica non degenere.
Proposizione. Ci sono tre tipi di coniche non degeneri: le ellissi, che sono curve chiuse (nel senso che percorrendole si torna al punto di partenza), le parabole che sono curve non chiuse costituite da un solo arco, le iperboli che sono curve non chiuse costituite da due archi disgiunti.
Dimostrazione. Per ipotesi il piano non passa per il vertice V. Se poco inclinato rispetto al piano orrizzontale, incontra tutte le generatrici, formando cos una curva chiusa.
In particolare se il piano orrizzontale si ottiene una circonferenza, che
dunque un tipo particolare di ellisse.
Se il piano maggiormente inclinato al punto di essere parallelo ad una generatrice, allora taglia il cono lungo una sola falda e incontra tutte le generatrici, tranne quella a cui parallelo, pertanto la curva sezione non chiusa, ma composta da un solo arco.
Infine se il piano ancora pi inclinato esso incontra entrambe le falde e quindi taglia sul cono una curva che ha due componenti disgiunte.
fig. 8* A sinistra: sezione ottenuta con il piano
ortogonale a e passante per lasse del cono. Al centro: il piano che taglia
il cono. A destra la sezione.