Capitolo I - Angoli

 

1 Retta perpendicolare ad un piano e proiezione perpendicolare (o ortogonale) su un piano.

 

Sia dato un piano . La retta r perpendicolare a in un suo punto P la retta per P che perpendicolare a tutte le rette di passanti per P (fig. 1a)

 

                      

fig. 1a                                                                     fig. 1b

 

La proiezione perpendicolare (o ortogonale) su di un piano di un punto Q dello spazio il punto Q piede della perpendicolare a condotta per Q (fig. 1b)

 

Possiamo estendere il concetto da proiezione perpendicolare di un punto a proiezione perpendicolare di una figura.

 

Data una qualunque figura S dello spazio la sua proiezione ortogonale sul piano il luogo S dei piedi delle perpendicolari a condotte da tutti i suoi punti (fig. 2a). In particolare la proiezione perpendicolare di una retta r un punto se r stessa perpendicolare a , altrimenti una retta r (fig. 2b).

 

                  

 


fig. 2a* - Proiezione perpendicolare  della curva S sulla curva S del piano .

 

fig. 2b* - Proiezione perpendicolare della retta r sulla retta r del piano .


 

 

 

2 Angolo tra un piano e una retta.

 

Langolo tra una retta r ed un piano tra loro incidenti retto se r perpendicolare a , altrimenti langolo formato dalla retta r con la sua proiezione ortogonale r sul piano  (fig. 3)

 

fig. 3

 

Commento. Sia r una retta incidente a in un punto P.  Consideriamo le rette s di che passano per P. Se r ortogonale, queste rette sono tutte ortogonali a r, altrimenti esse formano con r angoli diversi e la proiezione ortogonale r quella che realizza langolo minore.

 

fig. 4* - Tre angoli formati da r con tre diverse rette del piano,

 il minore quello con la proiezione ortogonale r.

 

Esercizio. La figura rappresentata in fig. 5 un cibo. Che angolo formano tra loro le due rette rosse ? E quale angoli forma ciascuna retta con le facce del cubo ?

fig. 5*

 

3 Angolo tra piani.

Ritorniamo alla fig. 4: langolo che la retta r forma con il piano langolo che langolo formato con la sua proiezione ortogonale r, ed diverso da quelli che essa forma con le rette s ed s.  E chiaro che la questione ancora pi delicata se si vuol definire langolo tra due piani: non baster scegliere due rette a caso sui due piani e guardare langolo tra esse formato.

In fig. 6 messo in evidenza come dati due piani a e b che si tagliano lungo una retta, sia possibile trovare coppie di rette r ed s sui due piani che formano angoli molto diversi tra loro.

 

fig. 6 Le rette r ed s formano un angolo molto pi piccolo di quello formato dalle rette r ed s.

 

Conviene allora dare la seguente definizione.

 

Langolo tra due piani non paralleli langolo formato dalle loro perpendicolari.

 

Si noti che le perpendicolari ad un piano sono tutte parallele tra loro, quindi per valutare langolo tra due piani possiamo considerare le loro perpendicolari per un punto qualsiasi.

 

fig. 7* La retta gialla perpendicolare al piano giallo, quella celeste a quello celeste. Langolo tra queste due rette per definizione, langolo tra i due piani.

 

Possiamo per ricondurre la nozione di angolo tra due piani allangolo tra due rette dei due piani. Infatti si consideri la fig. 8: i piani a e b hanno perpendicolari t ed u e

fig. 8*

 

langolo da esse formato (in blu in figura) uguale allangolo formato dalle rette r ed s. Queste ultime sono perpendicolari alla retta comune ai due piani. Cio

 

Proposizione. Siano a e b due piani non paralleli. Essi sono incidenti lungo una retta t. Langolo tra i piani a e b pari allangolo formato dalle rette r e s rispettivamente di a e di b che sono ortogonali alla retta comune in un suo punto.

 

fig. 9 Le rette r ed s sono ortogonali a t. Quindi langolo tra i due piani langolo tra r ed s.

 

Esercizio. Come si potrebbe calcolare langolo tra due facce di un tetraedo regolare ?

 

fig. 10*